关于 Erd\H{o}s-Rogers 函数的阶

对于整数 $n \geq 1$，Erd\H{o}s-Rogers 函数 $f_{s}(n)$ 是最大的整数 $m$，使得每个 $n$ 顶点的 $K_{s+1}$-free 图都有一个具有 $m$ 个顶点的 $K_s$-free 子图。已知对于所有 $s \geq 3$，当 $n \rightarrow \infty$ 时，$f_{s}(n) = \Omega(\sqrt{n\log n}/\log \log n)$。在本文中，我们证明了对于所有 $s \geq 3$，\begin{equation*} f_{s}(n) = O(\sqrt{n}\, \log n). \end{equation*} 这改进了 Dudek、Retter 和 R\"{o}dl 给出的 $\sqrt{n} (\log n)^{2(s + 1)^2}$ 阶的先前界限。