关于 Ramsey 数 $R(3,k)$ 的 Erd\H{o}s-S\'os 问题的进展

设 $\Delta_s=R(K_3,K_s)-R(K_3,K_{s-1})$，其中 $R(G,H)$ 是图 $G$ 和 $H$ 的 Ramsey 数，定义为最小的 $n$，使得 $K_n$ 的任意双色边着色在第一种颜色中包含 $G$ 或在第二种颜色中包含 $H$。1980 年，Erd\H{o}s 和 S\'os 提出了关于 $\Delta_s$ 增长的一些问题。关于 $\Delta_s$ 已知最好的具体界是 $3 \le \Delta_s \le s$，且自该问题提出以来未曾改进。在本文中，我们给出了一些构造，特别地蕴含了 $R(K_3,K_s) \ge R(K_3,K_{s-1}-e) + 4$。这并未改进 $\Delta_s$ 的下界 3，但我们仍将其视为迈向理解其增长的一步。我们讨论了一些相关问题，并提出了涉及 $\Delta_s$ 的两个猜想，包括以下猜想：存在常数 $d$，使得对所有 $s$ 均有 $\Delta_s - \Delta_{s+1} \leq d$。我们还证明了若后者成立，则 $\lim_{s \rightarrow \infty} \Delta_s/s=0$。