Ramsey 数 $R(3,K_{10}-e)$ 及 $R(3,G)$ 的计算界

利用计算机算法，我们确定 Ramsey 数 $R(3,K_{10}-e)$ 等于 37，从而解决了此类 Ramsey 数中最小的未决情形。我们还获得了 $11 \le k \le 16$ 时 $R(3,K_k-e)$ 的新上界，并通过构造展示了新下界 $55 \le R(3,K_{13}-e)$。$R(3,K_k-e)$ 的新上界是通过利用 $l \le k$ 时 $e(3,K_l-e,n)$ 的值和下界获得的，其中 $e(3,K_k-e,n)$ 是补图中不含 $K_k-e$ 的 $n$ 顶点无三角形图中的最小边数。我们完成了对所有 $n$ 且 $k \leq 10$ 以及 $n \leq 34$ 且 $k = 11$ 时 $e(3,K_k-e,n)$ 精确值的计算，并为更高的 $k$ 值建立了许多 $e(3,K_k-e,n)$ 的新下界。利用最大无三角形图生成方法，我们确定了另外两个此前未知的 Ramsey 数，即 $R(3,K_{10}-K_3-e)=31$ 和 $R(3,K_{10}-P_3-e)=31$。对于 10 顶点的图 $G$，除 $G=K_{10}$ 外，还剩 6 个 $R(3,G)$ 形式的未决情形。其中最难的情形似乎是 $G=K_{10}-2K_2$，对此我们确立了界 $31 \le R(3,K_{10}-2K_2) \le 33$。