离散结构的相交族通常是平凡的

相交结构的研究是极值组合学的核心。一个置换族 $\mathcal{F} \subset S_n$ 称为 \emph{$t$-相交}的，如果 $\mathcal{F}$ 中任意两个置换在某个 $t$ 个指标上一致；称为 \emph{平凡的}，如果 $\mathcal{F}$ 中所有置换在相同的 $t$ 个指标上一致。一个 $k$-一致超图称为 \emph{$t$-相交}的，如果其任意两条边有 $t$ 个公共顶点；称为 \emph{平凡的}，如果其所有边共享相同的 $t$ 个顶点。基本问题是确定相交族可以有多大。Ellis、Friedgut 和 Pilpel 证明，对于相对于 $t$ 足够大的 $n$，$S_n$ 中最大的 $t$-相交族是平凡的。经典的 Erdős–Ko–Rado 定理表明，当 $n$ 大时，最大的 $t$-相交 $k$-一致超图也是平凡的。我们确定了 $t$-相交族的 \emph{典型}结构，将这些结果推广到证明几乎所有相交族都是平凡的。我们还得到了这些极值结果的稀疏类比，表明它们在随机设定中也成立。我们的证明使用 Bollobás 集对不等式来限制极大相交族的数量，然后与已知的稳定性定理结合。我们还得到了向量空间的类似结果。