遗传族的一致子族的交定理

若一个集合族 $\mathcal C$ 满足：只要 $A\in \mathcal C$ 且 $B\subset A$，就有 $B\in \mathcal C$，则称其为遗传族。Chv\'atal 猜想遗传族的最大相交子族是包含所有含某固定元素的集合的族。这是非一致 Erd\H{o}s-Ko-Rado 定理的推广。Borg 提出了该问题的一个自然的一致变体（本质上是均匀 Erd\H{o}s-Ko-Rado 定理的推广）：给定遗传族 $\mathcal C$，其所有极大集大小至少为 $n$，则 $\mathcal C$ 中所有 $k$ 元集合的族的最大相交子族是什么？答案显然依赖于 $n$ 和 $k$，Borg 猜想当 $n\ge 2k$ 时它 again 为所有含一个单点集的 $k$ 元集合的族。Borg 对 $n\ge k^3$ 证明了该猜想。他还考虑了该问题的一个 $t$-相交变体。本文中，我们改进了相交与 $t$-相交两种情形下的 $n$ 的界，证明当 $n\ge Ckt\log^2\frac nk$ 且 $n\ge Ck\log k$ 时，极大集大小至少为 $n$ 的遗传族的第 $k$ 层的最大 $t$-相交子族是所有含固定 $t$ 元集合的族的族。我们还证明了一个稳定性结果。