大型 $(s,t)$-并交族的规模与结构

集合族 $\F$ 若其中任意两集合均有非空交集，则称为相交族。著名的 Erd{\H o}s-Ko-Rado 定理确定了 $n$ 元集 $X$ 上最大的 $k$ 元集相交族的规模与结构。$(s,t)$-并交族是 $n$ 元集 $X$ 上的 $k$ 元集族，使得对该族中任意 $A_1,\ldots,A_{s+t}$，有 $\left(\cup_{i=1}^sA_i\right)\cap\left(\cup_{i=1}^t A_{i+s}\right)\neq \varnothing$。令 $\ell(\F)$ 为 $\F$ 中使得删去它们后所得子族为相交族的最小集合数。本文对充分大的 $n$，刻画了具有最大可能规模且 $\ell(\F)\geq s+\beta$ 的 $(s,t)$-并交族的规模与结构。这使我们能够找出某些大型且极大的 $(s,t)$-并交族的规模与结构。我们的结果是近期若干 Erd{\H o}s-Ko-Rado 定理推广的非平凡推广，例如确定第三大相交族结构的 Han 与 Kohayakawa 2017 定理、Kostochka 与 Mubayi 2017 定理，以及较近的 Kupavskii 2018 定理（二者均确定了 $i\leq k+1$ 时第 $i$ 大 $k$ 元集相交族的规模与结构）。特别地，我们证明了 Hilton-Milner 型稳定性定理对 $(1,t)$-并交族成立，这确实证实了 Alishahi 与 Taherkhani 2018 的一个猜想。我们将结果推广到 Kneser 图的 $K_{s_1,\ldots,s_{r+1}}$-自由子图。事实上，当 $n$ 充分大时，我们刻画了 Kneser 图中大型且极大的 $K_{s_1,\ldots,s_{r+1}}$-自由子图的规模与结构。特别地，当 $s_1=\cdots=s_{r+1}=1$ 时，我们的结果给出了与著名的 Erd{\H o}s 匹配猜想相关的一些稳定性结果。