关于具有固定循环数的排列的 Erd{\H o}s-Ko-Rado 定理

令 $S_{n}$ 表示 $[n]=\{1,2,\dots, n\}$ 的排列集合。对于正整数 $k$，定义 $S_{n,k}$ 为 $[n]$ 的所有恰好具有 $k$ 个不相交循环的排列集合，即 $$S_{n,k} = \{\pi \in S_{n}: \pi = c_{1}c_{2} \cdots c_{k}\},$$ 其中 $c_1,c_2,\dots ,c_k$ 是不相交循环。$S_{n,k}$ 的大小由 $\left [ \begin{matrix}n\ k \end{matrix}\right]=(-1)^{n-k}s(n,k)$ 给出，其中 $s(n,k)$ 是第一类 Stirling 数。若族 $\mathcal{A} \subseteq S_{n,k}$ 中任意两个元素至少具有 $t$ 个公共循环，则称其为 $t$-{\em 相交}。在本文中，我们证明：对于任意满足 $k\geq t+1$ 的正整数 $k,t$，存在整数 $n_0=n_0(k,t)$，使得对于所有 $n\geq n_0$，若 $\mathcal{A} \subseteq S_{n,k}$ 是 $t$-相交的，则 $$|\mathcal{A}| \le \left [ \begin{matrix}n-t\ k-t \end{matrix}\right],$$ 等号成立当且仅当 $\mathcal{A}$ 是 $t$ 个不动点的稳定子。