t-相交置换族的稳定性

一个置换族 $(\mathcal{A} \subset S_{n})$ 被称为 $t$-相交的，如果其中任意两个置换在至少 $t$ 个点上一致，即对于任意 $(\sigma, \pi \in \mathcal{A})$，有 $(|\{i \in [n]: \sigma(i)=\pi(i)\}| \geq t)$。Friedgut、Pilpel 和作者最近证明，对于依赖于 $t$ 的充分大的 $n$，一个 $t$-相交族 $(\mathcal{A} \subset S_{n})$ 的大小至多为 $((n-t)!)$，等号成立当且仅当 $\mathcal{A}$ 是 $t$ 个点稳定子的一个陪集（简称“$t$-陪集”），从而证明了 Deza 和 Frankl 的一个猜想。在此，我们首先得到 $t$-相交置换族的一个粗略稳定性结果，即对于任意 $t \in \mathbb{N}$ 和任意正常数 $c$，如果 $(\mathcal{A} \subset S_{n})$ 是一个大小至少为 $c(n-t)!$ 的 $t$-相交置换族，那么存在一个 $t$-陪集包含 $\mathcal{A}$ 中除至多一个 $O(1/n)$ 比例之外的所有元素。我们利用这一点证明了一个精确的稳定性结果：对于依赖于 $t$ 的充分大的 $n$，如果 $(\mathcal{A} \subset S_{n})$ 是一个不包含在任何 $t$-陪集内的 $t$-相交族，那么 $\mathcal{A}$ 的大小至多等于族 \mathcal{D} & = & \{\sigma \in S_{n}: \sigma(i)=i \forall i \leq t, \sigma(j)=j \textrm{对于某个} j > t+1\} && \cup \{(1 t+1),(2 t+1),...,(t t+1)\} 的大小，该族的大小为 $((1-1/e+o(1))(n-t)!)$。此外，如果 $\mathcal{A}$ 与 $\mathcal{D}$ 大小相同，那么它必须是 $\mathcal{D}$ 的一个“双平移”，即存在 $(\pi,\tau \in S_{n})$ 使得 $(\mathcal{A}=\pi \mathcal{D} \tau)$。我们还得到了交错群 $(A_{n})$ 中 $t$-相交族的一个类似结果。