3- wise $t$-相交族的强稳定性

设 ${\mathcal G}$ 为一个 $n$ 元集合的子集族。若 ${\mathcal G}$ 中任意三个子集的交的大小至少为 $t$，则称该族为 $3$-wise $t$-相交的。对于实数 $p\in(0,1)$，我们通过对所有 $G\in{\mathcal G}$ 求和 $p^{|G|}(1-p)^{n-|G|}$ 来定义该族测度。例如，若 ${\mathcal G}$ 由所有包含某个固定 $t$ 元集合的子集构成，则它是一个测度为 $p^t$ 的 $3$-wise $t$-相交族。设 $0<p\leq 2/(\sqrt{4t+9}-1)$，$\delta>0$，并设 ${\mathcal G}$ 为一个 $3$-wise $t$-相交族。已知 ${\mathcal G}$ 的测度至多为 $p^t$。进一步假设 ${\mathcal G}$ 的测度至少为 $(\frac12+\delta)p^t$。我们证明，通过选取依赖于 $\delta$ 足够大的 $t$，${\mathcal G}$ 的结构必为下述 (i) 或 (ii) 之一：(i) ${\mathcal G}$ 中每个子集都包含一个固定的 $t$ 元集合，(ii) ${\mathcal G}$ 中每个子集都从一个固定的 $(t+3)$ 元集合中至少包含 $t+2$ 个元素。