对称群的$3$-集态相交族

给定两个正整数$n\geq 3$与$t\leq n$，若置换$\sigma,\pi \in \operatorname{Sym}(n)$在$\{1,2,\ldots,n\}$的一个$t$子集上（集态）一致，则称它们是$t$-集态相交的。若$\mathcal{F} \subset \operatorname{Sym}(n)$中任意两个置换都是$t$-集态相交的，则称族$\mathcal{F}$为$t$-集态相交族。Ellis [Journal of Combinatorial Theory, Series A, 119(4), 825--849, 2012]猜想：若$t\leq n$且$\mathcal{F} \subset \operatorname{Sym}(n)$是$t$-集态相交族，则$|\mathcal{F}|\leq t!(n-t)!$，且等号仅当$\mathcal{F}$是$\{1,2,\ldots,n\}$的某个$t$子集的集态稳定子的陪集时成立。本文中，我们证明：若$n\geq 11$且$\mathcal{F}$是$3$-集态相交的，则$|\mathcal{F}|\leq 6(n-3)!$。此外，我们证明最大尺寸的$3$-集态相交族的特征向量位于由$\operatorname{Sym}(n)$作用于$\{1,2,\ldots,n\}$的$3$子集的置换模所诱导的特征子空间之和中。