对称群中的 junta 近似与禁交问题

若置换族 $\mathcal{F} \subset S_{n}$ 中任意两个置换至少在 $t$ 个点上一致，则称其为 $t$-相交的。若 $\mathcal{F}$ 中任意两个置换恰好在 $t-1$ 个点上一致的情况都不发生，则称其为 $(t-1)$-无交的。若 $S,T \subset \{1,2,\ldots,n\}$ 且 $|S|=|T|$，而 $\pi: S \to T$ 是一个双射，则 $S_n$ 中的 $\pi$-星是指 $S_n$ 中所有在 $S$ 上与 $\pi$ 一致的置换构成的族。若 $\pi$ 是大小为 $s$ 的集合之间的双射，则相应的 $\pi$-星称为 $s$-星。Friedgut 与 Pilpel 以及独立地本文第一作者证明了：若 $\mathcal{F} \subset S_n$ 是 $t$-相交的，且 $n$ 充分大（依赖于 $t$），则 $|\mathcal{F}| \leq (n-t)!$；这证明了 Deza 与 Frankl 于 1977 年提出的一个猜想。等号成立当且仅当 $\mathcal{F}$ 是一个 $t$-星。本文对 Deza-Frankl 猜想的一个加强形式给出了更具“鲁棒性”的证明，即：若 $n$ 充分大（依赖于 $t$），且 $\mathcal{F} \subset S_n$ 是 $(t-1)$-无交的，则 $|\mathcal{F}| \leq (n-t)!$，且等号成立当且仅当 $\mathcal{F}$ 是一个 $t$-星。我们证明的主要成分是“junta 近似”结果，即：任何 $(t-1)$-无交的置换族本质上都包含于一个 $t$-相交的{\em junta} 中（一个“junta”是有界个数 $O(1)$-星的并）。我们的 junta 近似结果的证明又依赖于置换族的一个弱正则引理、一个将弱伪随机性“自举”为更强伪随机性的组合论证，以及一个针对高度伪随机分数族对的光谱论证。我们的证明使用了四种不同的伪随机性概念，其中三种是组合性质的，一种是代数性质的。