移族的简单 junta 近似

我们称一个由 $k$ 元集合构成的族 $\mathcal F$ 为一个{\it $j$-junta}，若存在大小为 $j$ 的集合 $J$，使得任一 $F$ 是否属于 $\mathcal F$ 仅取决于其与 $J$ 的交。用较小 $j$ 的 $j$-junta 近似任意族是极值集合论中近期的一种强力技术。所有已知 junta 近似结果的弱点是它们仅在 $n>Ck$ 范围内成立，其中 $C$ 是关于输入参数（如近似质量或同时近似的族数）增长极快的函数。我们称族 $\mathcal F$ 为{\it 移族（shifted）}，若对任意 $F=\{x_1,\ldots, x_k\}\in \mathcal F$ 及任意满足 $y_i\le x_i$ 的 $G =\{y_1,\ldots, y_k\}$，均有 $G\in \mathcal F$。对许多极值集合论问题，包括 Erd\H os 匹配猜想或完全 $t$-交定理，只需处理移族即可。本文给出对移族非常一般的 junta 近似结果，其对输入参数具有显式（且本质线性）的依赖关系。这些结果在常数因子范围内是最优的。此外，它们对几乎所有 $n$ 的取值范围都给出有意义结论。证明比先前 junta 近似结果的证明更短且完全自包含。作为 junta 近似的应用，我们给出 Erd\H os 匹配猜想多族版本的近线性界。更确切地，我们证明如下结果。设 $n\ge 12sk\log(e^2s)$ 且族 $\mathcal F_1,\ldots, \mathcal F_s\subset {[n]\choose k}$ 不包含 $F_1\in\mathcal F_1,\ldots, F_s\in \mathcal F_s$ 使得 $F_i$ 两两不交。则 $\min_{i}|\mathcal F_i|\le {n\choose k}-{n-s+1\choose k}.$