具有常数错误率的局部修正

若对于一个 n 元布尔函数 f，在给定一个与 f 的某个同构 $f_\sigma(x)=f(x_{\sigma(1)}, ..., x_{\sigma(n)})$“接近”的函数 g 的黑盒访问权限时，能够通过对 g 进行 q 次查询以较高的概率计算出任意 $x \in \{0,1\}^n$ 处的 $f_\sigma(x)$，则称 f 是 q-局部可修正的。已知 d 次多项式是 $O(2^d)$-局部可修正的，且大多数 k-联合函数（k-juntas）是 $O(k \log k)$-局部可修正的，其中接近度参数（更确切地说是 g 与 $f_\sigma$ 之间的距离）分别要求关于 d 和 k 指数级小。在本工作中，我们通过允许函数间距离为常数来放宽对接近度参数的要求。我们首先研究联合函数族，证明对于任意距离 $\epsilon < 0.001$，几乎每个 k-联合函数都是 $O(k \log^2 k)$-局部可修正的。对于部分对称函数族（即除了常数个变量外，对其余变量的任何重排都不敏感的函数），也证明了类似的结果。对于这两个函数族，此处提供的算法使用非自适应查询，并且适用于每个族中的大多数但非全部函数（因为已证明不可能对所有函数进行局部修正）。我们的方法利用了最近在函数部分对称性测试分析中引入的对称影响度量。