用于学习和测试联合函数的量子算法

在本文中，我们开发了用于学习和测试联合函数（juntas）的量子算法，即仅依赖于 $n$ 个输入变量中未知的 $k$ 个变量的布尔函数。我们的目标是开发高效算法：其样本复杂度不依赖于布尔函数定义域的维度 $n$；无需访问任何经典或量子成员资格（“黑盒”）查询。相反，我们的算法仅使用均匀随机生成的经典示例和此类经典示例的固定量子叠加态；仅需少量量子示例，但可能需要大量经典随机示例（相对于量子示例，后者被认为相当“廉价”）。我们的量子算法基于一个子程序 FS，该子程序能够根据 $f$ 的傅里叶谱进行采样；FS 子程序曾在 Bshouty 和 Jackson 关于量子学习的早期工作中被使用。我们的结果如下：- 我们给出了一种测试 $k$-联合函数至精度 $\epsilon$ 的算法，该算法使用 $O(k/\epsilon)$ 个量子示例。这改进了已知最佳经典算法所使用的示例数量。- 我们建立了以下下界：任何基于 FS 的 $k$-联合函数测试算法都需要 $\Omega(\sqrt{k})$ 次查询。- 我们给出了一种学习 $k$-联合函数至精度 $\epsilon$ 的算法，该算法使用 $O(\epsilon^{-1} k\log k)$ 个量子示例和 $O(2^k \log(1/\epsilon))$ 个随机示例。我们通过给出相关的下界表明该学习算法接近最优。