量子学习算法的改进界

本文给出关于从量子查询与量子样例学习布尔函数的算法复杂度的若干新结果。Hunziker等人猜想，对于任意布尔函数类C，精确辨识来自C的未知函数所需的量子黑盒查询数为 $O(\frac{\log |C|}{\sqrt{{\hat{\gamma}}^{C}}})$，其中 $\hat{\gamma}^{C}$ 是类C的组合参数。我们基本上肯定地解决了该猜想，给出了一种量子算法，对任意类C，使用 $O(\frac{\log |C| \log \log |C|}{\sqrt{{\hat{\gamma}}^{C}}})$ 次量子黑盒查询来辨识来自C的任意未知函数。我们考虑了一系列介于精确学习问题（学习器必须获得关于黑盒函数的所有比特信息）与通常的谓词计算问题（学习器必须获得关于黑盒函数仅一比特信息）之间的自然中间问题。我们就这些中间问题的量子与经典查询复杂度何时相互多项式相关给出了肯定与否定结果。最后，我们将域 $\{0,1\}^n$ 上VC维为d的任意概念类的 $(\epsilon,\delta)$-PAC学习所需量子样例数（相对于量子黑盒查询）的已知下界从 $\Omega(\frac{d}{n})$ 改进到 $\Omega(\frac{1}{\epsilon}\log \frac{1}{\delta}+d+\frac{\sqrt{d}}{\epsilon})$。这一新下界更接近于匹配经典PAC学习的已知上界。