基于布尔变量影响的量子黑盒复杂度下界与逼近多项式次数下界

我们证明,为以误差概率 $\epsilon$ 计算 $N$ 个变量的布尔函数 $f$,任何量子黑盒算法至少必须查询 $\frac{1 - 2\sqrt{\epsilon}}{2} \rho_f N = \frac{1 - 2\sqrt{\epsilon}}{2} \bar{S}_f$ 次,其中 $\rho_f$ 是 $f$ 中变量的平均影响,$\bar{S}_f$ 是平均灵敏度。将此结果与已知下界 $\Omega (\sqrt{S_f})$ 对比是有趣的,其中 $S_f$ 是 $f$ 的灵敏度。该下界对某些函数是紧的。我们还证明对于任何以误差概率 $\epsilon$ 逼近 $f$ 的多项式 $\tilde{f}$,有 $deg(\tilde{f}) \ge 1/4 (1 - \frac{3 \epsilon}{1 + \epsilon})^2 \rho_f N$。对某些函数,此界可优于先前已知的 $\Omega(\sqrt{BS_f})$ 下界。我们的技术本身可能引人关注:我们将傅里叶分析应用于从 $\{0, 1\}^N$ 映射到希尔伯特空间中单位向量的函数。从该视角,第 $t$ 步量子计算机的状态可写作 $\sum_{s\in \{0, 1\}^N, |s| \le t} \hat{\phi}_s (-1)^ {s \cdot x}$,便于下界分析。