多种设定下量子布尔求和的精确误差界

我们研究 Brassard、Hoyer、Mosca 和 Tapp 的量子求和（QS）算法，该算法近似定义在 N 个元素上的布尔函数的算术平均。我们改进了[1]中最坏-概率设定下的误差界，并给出了平均-概率设定下的新误差界。特别地，在最坏-概率设定下，我们证明使用 $M - 1$ 次查询的 QS 算法误差为 $3\pi /(4M)$，概率为 $8/\pi^2$，这改进了 Brassard 等人的误差界 $\pi M^{-1} + \pi^2 M^{-2}$。我们还给出了概率为 $p\in (1/2, 8/\pi^2]$ 的界，并证明其对大 $M$ 和 $NM^{-1}$ 是紧的。在平均-概率设定下，我们证明若 $M$ 被 4 整除，QS 算法的误差量级为 $\min\{M^{-1}, N^{-1/2}\}$。如[10]最近所示，该界是最优的。对于不被 4 整除的 M，若 $M \ll N^{1/2}$，则 QS 算法远非最优，因为其误差正比于 $M^{-1}$。