最坏-平均设定下带重复的量子布尔求和

我们研究Brassard、Hoyer、Mosca和Tapp的量子求和QS算法，该算法近似定义在$N$个元素上的布尔函数的算术平均。我们给出QS算法在最坏-平均设定下的紧误差界，其中平均性能以$L_q$范数度量，$q \in [1,\infty]$。我们证明具有$M$次量子查询的QS算法（$M<N$）的最坏-平均误差界对$q=1$为$\Theta(\ln M/M)$形式，对$q\in (1,\infty)$为$\Theta(M^{-1/q})$，而对$q=\infty$等于1。我们还讨论了这些估计的渐近常数。我们通过使用带重复的QS算法改进了误差界。使用与$M$无关且与$q$线性相关的重复次数，我们对任意$q \in [1,\infty)$得到阶为$M^{-1}$的误差界。由于$\Omega(M^{-1})$是具有$M$次查询的任何量子算法最坏-平均误差的下界，带重复的QS算法在最坏-平均设定下是最优的。