单调函数的不可知正确学习：超越黑盒校正壁垒

我们给出了首个针对单调布尔函数的不可知、高效、正确学习算法。给定未知函数 $f:\{\pm 1\}^n \rightarrow \{\pm 1\}$ 的 $2^{\tilde{O}(\sqrt{n}/\varepsilon)}$ 个均匀随机样本，我们的算法输出一个单调且距 $f$ 为 $(\mathrm{opt} + \varepsilon)$ 的假设 $g:\{\pm 1\}^n \rightarrow \{\pm 1\}$，其中 $\mathrm{opt}$ 为 $f$ 到最近单调函数的距离。算法的运行时间（以及随之而来的假设的大小与评估时间）亦为 $2^{\tilde{O}(\sqrt{n}/\varepsilon)}$，几乎匹配 Blais 等人（RANDOM '15）的下界。我们还给出了一个以 $2^{\tilde{O}(\sqrt{n}/\varepsilon)}$ 运行时间估计未知函数 $f$ 到单调性的距离（加性误差 $\varepsilon$ 内）的算法。此前，对这两个问题均已知样本高效算法，但这些算法运行时间不高效。我们的工作由此弥合了运行时间与样本复杂度认知上的鸿沟。本工作建立在 Bshouty 与 Tamon（JACM '96）的非正确学习算法，以及 Lange、Rubinfeld 与 Vasilyan（FOCS '22）的正确半不可知学习算法之上，后者获得一个非单调的布尔值假设，随后利用图上查询高效的局部计算算法将其“校正”为单调。该黑盒校正方法在信息论上无法取得优于 $2\mathrm{opt} + \varepsilon$ 的误差；我们通过 a) 以凸优化步骤增强非正确学习器，以及 b) 在学习并将实值函数校正为单调后再将其值舍入为布尔，绕过了该壁垒。我们的实值校正算法解决了 [LRV22] 中关于具有非布尔标签的一般偏序集上函数的“偏序集排序”问题。