超越 Talagrand 函数：单调性与单态性 (unateness) 测试的新下界

我们证明了对于任意双侧且自适应的算法，测试未知布尔函数 $f:\{0,1\}^n\rightarrow \{0,1\}$ 是否单调或远离单调的查询复杂度下界为 $\tilde{\Omega}(n^{1/3})$。这改进了 Belovs 和 Blais [BB15] 近期针对同一问题给出的 $\tilde{\Omega}(n^{1/4})$ 下界。我们的结果建立在一类新的随机布尔函数族上，该函数族可视为 Talagrand 随机 DNF 的两层扩展。除单调性外，我们还证明了对于任意双侧且自适应算法测试单态性 (unateness)（单调性的自然推广）的下界为 $\tilde{\Omega}(n^{2/3})$，以及对于任意单侧且非自适应算法的下界为 $\tilde{\Omega}(n)$。后者与 Khot 和 Shinkar [KS15] 以及 Chakrabarty 和 Seshadhri [CS16] 近期给出的线性上界相匹配。