超网格上布尔函数的有向等周定理及 $\widetilde{O}(n\sqrt{d})$ 单调性测试器

测试超网格上布尔函数 $f:[n]^d \to \{0,1\}$ 的单调性问题是属性测试中的经典主题。当 $n=2$ 时，定义域为超立方体。对于超立方体情形，Khot-Minzer-Safra (FOCS 2015) 的突破性结果给出了一个进行 $\widetilde{O}(\varepsilon^{-2}\sqrt{d})$ 次查询的非自适应单边测试器。在不计 $d$ 和 $\varepsilon$ 的 polylog 因子的情况下，该界限与 $\widetilde{\Omega}(\sqrt{d})$ 次查询的非自适应下界 (Chen-De-Servedio-Tan (STOC 2015), Chen-Waingarten-Xie (STOC 2017)) 相匹配。对于任意 $n > 2$，最优非自适应复杂度此前未知。作者先前的结果 (SODA 2020) 实现了 $\widetilde{O}(d^{5/6})$ 次查询的上界，与超立方体的 $\sqrt{d}$ 界限相去甚远。在本文中，我们在不计 $\text{poly}(\varepsilon^{-1}\log d)$ 因子的情况下，解决了所有常数 $n$ 的单调性测试非自适应复杂度问题。具体而言，我们给出了一个进行 $\widetilde{O}(\varepsilon^{-2}n\sqrt{d})$ 次查询的非自适应单边单调性测试器。从技术角度来看，我们证明了超网格 $[n]^d$ 上新的有向等周定理。这些结果推广了此前仅适用于超立方体的著名有向 Talagrand 不等式。