实值函数的最优单调性测试器：自适应性的帮助

我们研究了测试函数 $f:\{0,1\}^d \to \mathbb{R}$ 单调性的问题。我们给出了一个查询复杂度为 $O(\frac{d}{\epsilon} \cdot \log\frac{d}{\epsilon})$ 的非自适应测试器和一个查询复杂度为 $O(\frac{d}{\epsilon})$ 的自适应测试器，并证明了对于固定的距离参数 $\epsilon$，这两个测试器都是最优的。此前已知的单调性测试器仅适用于布尔函数，且其查询复杂度在自适应和非自适应情况下对维度的依赖性都更差。此外，当时不存在测试单调性的下界。我们还推广了我们的结果，得到了函数 $f:[n]^d \to \mathbb{R}$ 的最优单调性测试器。我们的结果确立了自适应性有助于测试定义域为 $\{0,1\}^d$ 以及更一般地 $[n]^d$ 形式上实值函数的单调性。这与单调性测试的情况形成对比，在后者中，对于函数 $f:[n]^d \to \mathbb{R}$ 不存在自适应性差距。