AC$^0$近似度的一个近乎最优下界

布尔函数$f \colon \{-1, 1\}^n \rightarrow \{-1, 1\}$的近似度是指一个实多项式在逐点逼近$f$至多$1/3$误差时所需的最小次数。我们引入了一种通用方法，在保持函数可由常深度电路计算的前提下，提高给定函数的近似度。具体而言，我们展示了如何将任何近似度为$d$的布尔函数$f$变换为具有$O(n \cdot \operatorname{polylog}(n))$个变量且近似度至少为$D = \Omega(n^{1/3} \cdot d^{2/3})$的函数$F$。特别地，若$d= n^{1-\Omega(1)}$，则$D$在多项式意义上大于$d$。此外，若$f$可由多项式规模的常深度布尔电路计算，则$F$亦然。通过递归应用我们的变换，对于任意常数$\delta > 0$，我们展示了一个近似度为$\Omega(n^{1-\delta})$的AC$^0$函数。这改进了Aaronson和Shi（J. ACM 2004）此前$\Omega(n^{2/3})$的最佳下界，并几乎匹配了对任何函数都成立的平凡上界$n$。我们的下界也适用于具有拟多项式规模的多项对数宽度的DNF。我们描述了这些结果的若干应用。我们给出：* 对于任意常数$\delta > 0$，AC$^0$中一个函数的量子通信复杂度的$\Omega(n^{1-\delta})$下界。* 一个布尔函数$f$，其近似度至少为$C(f)^{2-o(1)}$，其中$C(f)$是$f$的证书复杂度。这种分离在指数中的$o(1)$项意义下是最优的。* 改进了在AC$^0$中具有重构过程的秘密共享方案。