二部完美匹配的近似度

布尔函数的近似度是在布尔超立方体上以 $\ell_\infty$ 范数逼近它的最小次数实多线性多项式的次数。我们证明二部完美匹配函数（即所有具有完美匹配的二部图的指示函数）的近似度为 $\widetilde{\Theta}(n^{3/2})$。上界通过完全刻画在实数上表示完美匹配函数的布尔对偶的唯一多线性多项式得到。关键地，我们证明该多项式具有非常小的 $\ell_1$ 范数——仅为 $\Theta(n \log n)$ 的指数级。下界通过界定完美匹配函数的谱敏感度得到，谱敏感度即其在超立方体上割图的谱半径 \cite{aaronson2020degree, huang2019induced}。我们证明完美匹配的谱敏感度恰为 $\Theta(n^{3/2})$。