拟随机与稠密图中极大近完美匹配计数

极大 $\varepsilon$-近完美匹配是指覆盖至少 $(1-\varepsilon)|V(G)|$ 个顶点的极大匹配。本文研究广义拟随机图与稠密图中极大近完美匹配的数量。我们给出了广义拟随机图中 $\varepsilon$-近完美匹配数量的紧下界与上界。此外，基于这些结果，我们给出一个确定性多项式时间算法：对于给定的 $n$ 阶稠密图 $G$ 和实数 $\varepsilon>0$，该算法要么返回 $G$ 没有 $\varepsilon$-近完美匹配的结论，要么返回一个非平凡正数 $\ell$，使得 $G$ 中极大 $\varepsilon$-近完美匹配的数量至少为 $n^{\ell n}$。我们的算法使用了 Szemerédi 正则引理的算法版本，时间复杂度为 $O(f(\varepsilon)n^{5/2})$，其中 $f(\cdot)$ 是仅依赖于 $\varepsilon$ 的显式函数。