关于图中特殊最大匹配逼近的三个结果

对于图 $G$，定义参数 $\ell(G)$ 和 $L(G)$ 为 $\nu(G\backslash F)$ 的最小值和最大值，其中 $F$ 是 $G$ 的最大匹配，$\nu(G)$ 是 $G$ 的匹配数。在本文中，我们证明存在一个小常数 $c>0$，使得以下判定问题是 NP 完全的：给定图 $G$ 和 $k\leq \frac{|V|}{2}$，检查 $G$ 中是否存在最大匹配 $F$，使得 $|\nu(G\backslash F)-k|\leq c\cdot |V|$。注意，当 $c=1$ 时，正如我们在文中所观察到的，该问题是多项式时间可解的。由于在任何图 $G$ 中，都有 $L(G)\leq 2\ell(G)$，任何构造图的最大匹配的多项式时间算法都是 $\ell(G)$ 的 2-近似算法和 $L(G)$ 的 $\frac{1}{2}$-近似算法。我们通过给出 $\ell(G)$ 和 $L(G)$ 的两个不可近似性结果来补充这些观察。