稠密超图中完美匹配与填充的复杂性

给定两个 $k$-图 $H$ 和 $F$，$H$ 中的一个完美 $F$-填充是 $H$ 中若干顶点不交的 $F$ 副本的集合，它们共同覆盖 $H$ 中的所有顶点。当 $F$ 为单条边时，完美 $F$-填充就是一个完美匹配。对于给定固定的 $F$，判定一个 $n$-顶点 $k$-图 $H$ 是否包含完美 $F$-填充的决策问题通常是 NP-完全的。事实上，若 $k \geq 3$，完美匹配的相关问题是 NP-完全的；而当 $k=2$ 时，若 $F$ 有一个至少包含 $3$ 个顶点的分支，则该问题是 NP-完全的。本文给出一个通用工具，可用于确定哪些（超）图类对应的完美 $F$-填充决策问题是多项式时间可解的。随后我们给出该工具的三种应用：（i）给定 $1\leq \ell \leq k-1$，我们给出一个最小 $\ell$-度条件，使得判定满足该条件的 $k$-图是否存在完美匹配是多项式时间可解的；（ii）给定任意图 $F$，我们给出一个最小度条件，使得判定满足该条件的图是否存在完美 $F$-填充是多项式时间可解的；（iii）我们还对 $k$-图中的完美 $K$-填充证明了类似结果，其中 $K$ 是一个 $k$-部 $k$-图。对于一定范围的 $\ell,k$ 值，（i）解决了 Keevash、Knox 和 Mycroft 的一个猜想，而（ii）对 Yuster 的一个问题给出了否定回答。在许多情况下，我们的结果是最优的，因为降低最小度条件会导致相应决策问题变为 NP-完全。