不相交匹配对及相关图类

对于有限图 $G$，我们研究最大 $2$-边可着色子图问题以及一个相关比值 $\frac{\mu(G)}{\nu(G)}$，其中 $\nu(G)$ 为 $G$ 的匹配数，$\mu(G)$ 为任意不相交匹配对 $(H,H')$ 中最大化 $|H| + |H'|$（等价地，构成最大 $2$-边可着色子图）的匹配 $H$ 的大小。此前已证明 $\frac{4}{5} \le \frac{\mu(G)}{\nu(G)} \le 1$，且达到 $\frac{4}{5}$ 的图类已被完全刻画。我们在此证明，介于 $\frac{4}{5}$ 与 $1$ 之间的任意有理数均可由连通图实现。此外，我们证明任何比值小于 $1$ 的图必含有特殊子图。