$Q_n$ 上局部 $p$-稳定函数的数量

图 $G=(V,E)$ 顶点集上的布尔函数 $f:V \to \{-1,1\}$ 若对每个顶点 $v$，其邻居 $w$ 中满足 $f(v)=f(w)$ 的比例恰为 $p$，则称其为局部 $p$-稳定的。该概念由 Gross 与 Grupel 在 [1] 中研究风景重建问题时引入。当 $G=Q_n$ 为 $n$ 维布尔超立方体时，他们给出了局部 $p$-稳定函数同构类数量的指数型下界，并请求更精确的估计。在本文中，我们通过将下界改进为双指数型下界并给出匹配的上界来提供此类估计。我们还证明，对固定 $k$ 与递增的 $n$，$Q_n$ 上局部 $(1-k/n)$-稳定函数的同构类数量最终为常数。证明使用了布尔超立方体上函数的傅里叶分解。