$\mathbb{Z}^n$ 上的偏置划分

给定图 $G$ 顶点集上的某个函数 $f$（一种景貌），令简单随机游走在图上运行并产生一个数值序列。是否有可能以高概率从该随机序列重建景貌 $f$？为证明对某些图这是不可能的，Gross和Grupel称图 $G=(V,E)$ 顶点集上的函数 $f:V\to\{0,1\}$ 为 $p$-偏置的，若对每个顶点 $v$，$f$ 取值为1的邻点比例恰为 $p$。显然，两个 $p$-偏置函数基于其景貌是不可区分的。Gross和Grupel在超立方体 $\{0,1\}^n$ 上构造了 $p$-偏置函数，并问对于哪些 $p\in[0,1]$ 在 $\mathbb{Z}^n$ 上存在 $p$-偏置函数，以及其数量如何。我们通过给出这些 $p$ 值的完整刻画来完全回答该问题。我们证明对所有 $p=c/2n$（其中 $c\in\{0,\dots,2n\}$）均存在 $p$-偏置函数，并且事实上对每个 $c\in\{1,\dots,2n-1\}$ 都存在不可数多个此类函数。为此，我们构造了 $\mathbb{Z}^n$ 划分为 $2n$ 个部分的不可数多种划分，使得 $\mathbb{Z}^n$ 中每个元素在每个部分中恰有一个邻点。这进一步表明并非 $\mathbb{Z}^n$ 上的所有景貌都能从简单随机游走上获得的数值序列重建。