避免有限度顶点时的不友好划分

图 $G = (V,E)$ 的不友好划分是一个函数 $c: V \to 2$，使得对每个顶点 $v\in V$ 都有 $|\{x\in N(v): c(x)\neq c(v)\}|\geq |\{x\in N(v): c(x)=c(v)\}|$，其中 $N(v)$ 表示其邻域。Cowen 与 Emerson 曾猜想每个图都有不友好划分，但 Milner 与 Shelah 通过分析具有不可数多个顶点的图找到了该命题的反例。有趣的是，他们的图都没有有限度的顶点。因此，作为一个自然的逼近方向，本文寻找具有该性质且不允许不友好划分的图的最小基数。实际上，在一些其他的独立性结果中，我们得出结论：这一大小无法由集合论的通常公理确定。