图的敌对划分或弱敌对划分

对于每个无限基数 $\kappa$ 和每个图 $G=(V,E)$，如果对于每个 $x\in V$，满足 $\left| \left\{ y\in V\mid \left\{ x,y\right\} \in E\text{ 且 }\pi (y)\neq \pi (x)\right\} \right| \geq \left| \left\{ y\in V\mid \left\{ x,y\right\} \in E\text{ 且 }\pi (y)=\pi (x)\right\} \right|$ 或 $\geq \kappa$，则称划分 $\pi :V\rightarrow \left\{ 0,1\right\}$ 为 $\kappa$-敌对的；如果第一个性质对每个 $x\in V$ 成立，则称 $\pi$ 为敌对的。S. Shelah 和 E.C. Milner 构造了一些没有敌对划分的具有无限最小度的不可数图，但目前尚不清楚是否存在没有敌对划分的可数图。我们证明，对于每个整数 $n$，每个具有无限最小度的图都有一个 $\omega _{n}$-敌对划分。我们还证明了以下性质是等价的：(i) 每个图都有一个 $\omega$-敌对划分；(ii) 每个可数图都有一个敌对划分；(iii) 每个没有非空无限最小度诱导子图的可数图都有一个敌对划分（实际上只需考虑更小的一类图）。