无限图的 Erdős-Pósa 性质

我们研究了哪些无限图类具有 Erdős-Pósa 性质（EPP）。除了通常的 EPP，我们还考虑了以下 EPP 的无限变体：一个图类 $\mathcal{G}$ 具有 $\kappa$-EPP，其中 $\kappa$ 是一个无限基数，当且仅当对于任意图 $\Gamma$，要么在 $\Gamma$ 中存在 $\kappa$ 个来自 $\mathcal{G}$ 的互不相交的图，要么存在一个顶点集 $X$，其大小小于 $\kappa$，使得 $\Gamma - X$ 不包含任何来自 $\mathcal{G}$ 的图。特别地，我们研究了由单个无限图 $G$ 构成的类的（$\kappa$-）EPP。当 $G$ 的诱导子图集被标记为良拟序时，我们得到正结果；当 $G$ 不是自身的真子图时，我们得到负结果（两个结果均需要一些额外条件）。作为推论，我们得到每个不包含长度为 $n$ 的路径（对某个 $n \in \mathbb{N}$）的图都具有 EPP 和 $\kappa$-EPP。此外，我们证明任意树 $T$ 的所有细分构成的类对每个不可数基数 $\kappa$ 都具有 $\kappa$-EPP，若 $T$ 无射线，则也具有 $\aleph_0$-EPP 和 EPP。