无限度正则图 factorization

设 $\mathcal{H}=\{H_i: i<\alpha \}$ 是某个序数 $\alpha$ 的指标化图族。图 $G$ 的 $\mathcal{H}$-分解是一个边不交子图族 $\mathcal{G}=\{G_i: i<\alpha \}$，使得对每个 $i<\alpha$ 有 $G_i$ 同构于 $H_i$，且 $\bigcup\{E(G_i):i<\alpha\}=E(G)$。$G$ 的 $\mathcal{H}$-factorization 是 $G$ 的一个 $\mathcal{H}$-分解，其中 $\mathcal{H}$ 的每个元素都是 $G$ 的生成子图。设 $\kappa$ 为无限基数。K\H{o}nig 于 1936 年证明每个 $\kappa$-正则图都可分解为完美匹配。Andersen 和 Thomassen 利用该定理于 1980 年证明每个 $\kappa$-正则连通图都有一棵 $\kappa$-正则生成树。我们推广了这两个结果，并确立了对于每个非零 $\lambda\leq \kappa$，$\kappa$-正则图存在分解为 $\lambda$-正则子图。此外，我们证明对于每个由 $\kappa$ 个森林组成的族 $\mathcal{H}$（每个森林有 $\kappa$ 个阶至多为 $\kappa$ 且无孤立顶点的分支），每个 $\kappa$-正则连通图都有 $\mathcal{H}$-factorization。