5-正则图中的哈密顿圈与 1-因子

证明了对于任意整数 $g \ge 0$ 和 $k \in \{ 0, \ldots, 10 \}$，存在无穷多个亏格为 $g$ 的 5-正则图，其包含一个恰有 $k$ 对完美（即构成哈密顿圈）的 1-因子的 1-因子分解。对于 $g = 0$，这解决了 Kotzig 1964 年的一个问题。受 Kotzig 和 Labelle 的“婚姻”操作启发，我们讨论了两种旨在产生高循环边连通度图的粘合技术。我们证明了存在无穷多个平面 5-连通 5-正则图，其中每个 1-因子分解都有零个完美对。另一方面，由四色定理以及 Brinkmann 和第一作者的一个结果，每个满足其哈密顿圈上某一条件的平面 4-连通 5-正则图具有线性数量的 1-因子分解，每个均包含至少一个完美对。我们还证明了每个满足更强条件的平面 5-连通 5-正则图包含一个至多九个完美对的 1-因子分解，因此，每个容许带十个完美对的 1-因子分解的此类图至少有两个边-Kempe 等价类。本文以关于平面 5-正则图中边-Kempe 等价类的进一步结果作结。