2-边连通 r-因子分解中完全多重图分解的包含关系

多重图 $G$ 的一个分解是指将其边划分为子图 $G(1), \ldots , G(k)$。若每个 $G(i)$ 均为 $r$-正则且生成子图，则称其为 $r$-因子分解。若 $G$ 是 $H$ 的子图，且对每一个 $1 \leq i \leq k$，$G(i)$ 都是 $H(i)$ 的子图，则称 $G$ 的分解被包含在 $H$ 的分解中。Feghali 与 Johnson 给出了在某些参数范围 $n$、$m$、$\lambda$、$\mu$、$r$ 下，给定的 $\lambda K_n$ 分解被包含在某个 $\mu K_{m}$ 的 2-边连通 $r$-因子分解中的充要条件：$r=2$、$\mu>\lambda$，且要么 $m \geq 2n-1$，要么 $m=2n-2$ 且 $\mu = 2$、$\lambda=1$，要么 $n=3$ 且 $m=4$。我们将他们的结果推广到任意 $r \geq 2$ 与 $m \geq 2n - 2$ 的情形。我们还给出了对于任意 $r \geq 3$ 与 $m = (2 - C)n$（其中 $C$ 为仅依赖于 $r$、$\lambda$ 与 $\mu$ 的常数），将给定 $\lambda K_n$ 分解包含在某个 $\mu K_{m}$ 的 2-边连通 $r$-因子分解中的若干充分条件。