图的EPPA数

若$G$是一个图,$A$和$B$为其诱导子图,$f\colon A\to B$是一个同构,则称$f$是$G$的一个\emph{部分自同构}。1992年,Hrushovski证明了图具有\emph{部分自同构扩张性质}(\emph{EPPA},亦称\emph{Hrushovski性质}),即对每个有限图$G$,存在一个有限图$H$作为$G$的\emph{EPPA见证},使得$G$是$H$的诱导子图,且$G$的每个部分自同构都可扩张为$H$的一个自同构。图$G$的EPPA数记为$\mathop{\mathrm{eppa}}\nolimits(G)$,是指$G$的EPPA见证的最小顶点数,并令$\mathop{\mathrm{eppa}}\nolimits(n) = \max\{\mathop{\mathrm{eppa}}\nolimits(G) : \lvert G\rvert = n\}$。在本注记中,我们综述该领域现状,证明若干下界(特别地,我们证明$\mathop{\mathrm{eppa}}\nolimits(n)\geq \frac{2^n}{\sqrt{n}}$,从而确定了指数的正确底数)并提出许多开放问题。我们也简要讨论超图、有向图和$K_k$-自由图的EPPA数。