Erdős-Pósa 定理的多项式间隙扩展

给定图 $H$，我们用 ${\cal M}(H)$ 表示所有可收缩为 $H$ 的图。Erdős-Pósa 定理的以下扩展成立：对于每个 $h$ 顶点的平面图 $H$，存在一个函数 $f_{H}$，使得每个图 $G$ 要么包含 $k$ 个不相交的 ${\cal M}(H)$ 中的图的副本，要么包含一个大小为 $f_{H}(k)$ 的顶点集，该集合与 $G$ 中属于 ${\cal M}(H)$ 的每个子图相交。在本文中，我们证明了对于每个路径宽度至多为 2 的图 $H$，这种情况均成立，特别是 $f_{H}(k) = 2^{O(h^2)}\cdot k^{2}\cdot \log k$。作为我们结果证明的主要组成部分，我们证明了对于每个顶点数为 $h$ 且路径宽度至多为 2 的图 $H$，要么 $G$ 包含 $k$ 个不相交的 $H$ 作为 minor，要么 $G$ 的树宽以 $2^{O(h^2)}\cdot k^{2}\cdot \log k$ 为上界。最后，我们证明了如果 $H=K_{2,r}$，则可以避免这些界限中对 $h$ 的指数依赖。特别是，我们展示了 $f_{K_{2,r}}=O(r^2\cdot k^2)$。