Erd\H{o}s-P\'osa 性质的一个边变体

对于每个 $r\in \mathbb{N}$，我们用 $\theta_{r}$ 表示具有两个顶点和 $r$ 条平行边的多重图。给定一个图 $G$，如果子图 $H$ 包含作为收缩的 $\theta_{r}$，我们称 $H$ 是 $G$ 中 $\theta_{r}$ 的一个模型。我们证明了以下 Erd{\H o}s-P{\'o}sa 性质的边变体对每个 $r\geq 2$ 成立：如果 $G$ 是一个图且 $k$ 是一个正整数，那么要么 $G$ 包含 $k$ 个互不相交的 $\theta_{r}$ 模型的堆积，要么它包含一个由 $f_r(k)$ 条边组成的集合 $S$，使得 $G\setminus S$ 没有 $\theta_{r}$-模型，其中 $f_r(k) = O(k^2r^3 \mathrm{polylog}~kr)$ 且 $f_r(k) = O(k^4r^2 \mathrm{polylog}~kr)$。