非平凡 $S$-$T$ 路径的半整型 Erd\H{o}s-P\'{o}sa 性质

对于一个群 $\Gamma$，$\Gamma$ 标号图是一种无向图 $G$，其中每条边的每个方向都被赋予 $\Gamma$ 的一个元素，使得同一条边的相反方向被赋予互为逆的元素。$G$ 中的一条路径若其沿路径标签的乘积不为 $\Gamma$ 的中性元素，则称为非平凡路径。我们证明对于每一个有限群 $\Gamma$，非平凡 $S$-$T$ 路径在 $\Gamma$ 标号图中具有半整型 Erd\H{o}s-P\'{o}sa 性质。更确切地说，存在一个函数 $f$，它依赖于 $\Gamma$，使得对于每一个 $\Gamma$ 标号图 $G$、顶点子集 $S$ 和 $T$，以及整数 $k$，以下对象之一必存在：一个由 $k$ 条 $G$ 中非平凡 $S$-$T$ 路径组成的族 $\mathcal{F}$，使得 $G$ 的每个顶点最多属于该族中的两条路径；或一个至多包含 $f(k)$ 个顶点的集合 $X$，其包含 $G$ 中每一条非平凡 $S$-$T$ 路径。这进一步说明在无向图中长度为奇数的 $S$-$T$ 路径具有半整型 Erd\H{o}s-P\'{o}sa 性质。