群标记图的群顶点森林数

我们引入群标记图的顶点森林数。对阿贝尔群 $\Gamma$，$\Gamma$-标记图是指边被标以 $\Gamma$ 中元素的图。对阿贝尔群 $\Gamma$ 和 $A\subseteq \Gamma$，$\Gamma$-标记图的 $(\Gamma, A)$-顶点森林数是最小整数 $k$，使得其顶点集可划分为 $k$ 个部分，其中每个部分诱导出的子图不含值为 $A$ 中元素的圈。我们证明对每个正整数 $\omega$，存在一个函数 $f_{\omega}:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to \mathbb{R}$，使得若 $|\Gamma\setminus A|\le \omega$，则每个 $(\Gamma, A)$-顶点森林数至少为 $f_{\omega}(t,d)$ 的 $\Gamma$-标记图包含一个 $K_t$ 的细分，其中所有分支路径的值均在 $A$ 中且长度至少为 $d$。这在多个方向上推广了著名结果：每个色数足够大的图包含 $K_t$ 的细分。