关于若干图友善阿贝尔群

Hovey 引入了 $A$-友善标号作为友善标号与调和标号的推广 \cite{Hovey}。若 $A$ 为阿贝尔群,则对某一图 $G$ 的顶点进行标号 $f \colon V (G) \rightarrow A$ 会诱导出 $G$ 上的边标号;边 $uv$ 获得标号 $f (u) + f (v)$。若存在一种顶点标号使得(1)各顶点标号类的大小相差至多为 1,且(2)所诱导的各边标号类的大小相差至多为 1,则称图 $G$ 是 $A$-友善的。Patrias 与 Pechenik 研究了使所有路径图均为 $A$-友善的更大的有限阿贝尔群 $A$ 类。他们提出猜想:对任意阿贝尔群 $A$,除有限多个路径图外所有路径图均为 $A$-友善。本文解决了该猜想。此外,我们证明了对于任意奇阶阿贝尔群 $A$,所有圈图均为 $A$-友善。