(2,3) 协调树与路

近来 L. B. Beasley 在 [1] 中引入了有向图的 $(2,3)$-协调标号。他提出了两个猜想,我们在本文中予以解决。他猜想每条长度至少为 5 的路的所有定向都是 $(2,3)$ 协调的,且每个最大度 $n=3$ 的树都有一个协调定向。我们证明这两个猜想均为假。我们还讨论了 Petersen 图定向的 $(2,3)$ 协调性,并给出了一个图在仍为 $(2,3)$ 协调时所能拥有的边数的上界。此外还给出了 $(2,3)$ 协调标号的一个应用。