Ban--Linial 猜想与树状 snark 图

若桥-less 三次图 $G$ 存在一种 2-顶点着色（不必为正常着色）使得：(i) 两色类基数相同，且 (ii) 单色分支为孤立顶点或边，则称 $G$ 具有 2-平分。2016 年，Ban 和 Linial 猜想除著名的 Petersen 图外，每个桥-less 三次图均容许 2-平分。同文证明了每个 I 类桥-less 三次图均容许此类平分。对图论中许多猜想至关重要的 II 类桥-less 三次图被称为 snark，特别是那些过度指数至少为 5 的图，即其边集不能被四个完美匹配覆盖。此外，在 [J. Graph Theory, 86(2) (2017), 149--158] 中，Esperet 等人指出 Ban--Linial 猜想的可能反例必有圆流数至少为 5。同一作者还指出，尽管经验证据表明若干由 Petersen 图得到的图容许 2-平分，他们无法朝一般证明方向推进。除零星计算结果外，迄今尚无关于过度指数与圆流数均至少为 5 的 snark 的一般结论。本文我们证明树状 snark——一类无限 snark 族，严重依赖于 Petersen 图且圆流数与过度指数均至少为 5——容许 2-平分。