诱导同构单色子图的三次图染色

无桥三次图 $G$ 的 $k$-二分是其顶点集的一种 $2$-染色，使得颜色类具有相同的基数，并且由颜色类诱导的两个子图（以下简称单色分量）中的所有连通分量阶至多为 $k$。Ban 和 Linial 猜想，除 Petersen 图外，每个无桥三次图都存在 $2$-二分。三次图边集的类似问题也已被研究：Wormald 猜想，每个满足 $|E(G)| \equiv 0 \pmod 2$ 的三次图 $G$ 都有一种 $2$-边染色，使得两个单色子图是同构的线性森林（即分量为路径的森林）。最后，Ando 猜想每个三次图都存在一种二分，使得两个诱导的单色子图是同构的。在本文中，我们深入探讨了 Ban-Linial 和 Wormald 的猜想，并提供了它们与 Ando 猜想存在强关联的证据。此外，我们还给出了支持它们的计算和理论证据。作为结果，我们提出了一些比上述猜想更强的开放问题。此外，我们证明了对三次循环置换图成立的 Ban-Linial 猜想。作为研究以线性森林为单色分量的三次图 $2$-边染色的副产品，我们也对 Jackson 和 Wormald 提出的关于三次图分解为线性森林的某些分解问题给出了否定回答。