关于可着色所有正则图的图的存在性

设 $H$ 与 $G$ 为图。一个 $H$-着色是指 $G$ 的一个正常边着色 $f:E(G)\rightarrow E(H)$，使得对任意顶点 $u\in V(G)$，存在顶点 $v\in V(H)$ 满足 $f\left (\partial_Gu\right )=\partial_Hv$，其中 $\partial_Gu$ 与 $\partial_Hv$ 分别表示与顶点 $u$ 和 $v$ 关联的 $G$ 与 $H$ 中的边集。若 $G$ 允许一个 $H$-着色，则称 $H$ 着色 $G$。是否存在一个图 $H$ 可着色所有无桥三次图的问题直接由 Petersen 着色猜想所涉及，该猜想称 Petersen 图可着色所有无桥三次图。2012 年，Mkrtchyan 证明若该猜想成立，则 Petersen 图是唯一可着色所有无桥三次图的连通无桥三次图 $H$。本文推广此结论，证明若去掉对 $H$ 的所有度数限制，每个无桥三次图 $G$ 实质上仅可被另一个唯一图着色：四个顶点上的次三次多重图 $S_{4}$。在更弱的对图 $G$ 的假设下也给出了若干类似结果。本文第二部分还考虑了度数严格大于 $3$ 的正则图的 $H$-着色，并证明：(i) 对任意 $r>3$，不存在可着色所有 $r$-正则多重图的连通图 $H$（可含平行边）；(ii) 对任意 $r>1$，不存在可着色所有 $2r$-正则简单图的连通图 $H$（可含平行边）。