三次图的 $S_{12}$ 与 $P_{12}$-染色

若 $G$ 和 $H$ 是两个三次图,则 $G$ 的一个 $H$-染色是一个用 $H$ 的边进行的正常边染色 $f$,使得对 $G$ 的每个顶点 $x$,存在 $H$ 的一个顶点 $y$ 满足 $f(\partial_G(x))=\partial_H(y)$。若 $G$ 容许一个 $H$-染色,则记为 $H\prec G$。Jaeger 的 Petersen 染色猜想($P_{10}$-猜想)断言:对任意无桥三次图 $G$,有 $P_{10}\prec G$。Sylvester 染色猜想($S_{10}$-猜想)断言:对任意三次图 $G$,有 $S_{10}\prec G$。本文引入两个与这些猜想相关的新猜想。其中第一个断言:任意含完美匹配的三次图容许一个 $S_{12}$-染色。第二个断言:任意边集可被四个完美匹配覆盖的三次图 $G$ 容许一个 $P_{12}$-染色。我们分别称这些新猜想为 $S_{12}$-猜想和 $P_{12}$-猜想。我们的首批结果证明了在 $S_{12}$-猜想和 $P_{12}$-猜想中选择这些图的合理性。接下来,我们刻画了在三次图 $G$ 的 $P_{12}$-染色中可能为虚边的 $P_{12}$ 的边。最后,我们通过证明 $S_{12}$-猜想蕴含 $S_{10}$-猜想,以及 $P_{12}$-猜想与 $(5,2)$-圈覆盖猜想共同蕴含 $P_{10}$-猜想,将这些新猜想与已知猜想相联系。我们证明后一论断的主要工具是 $(5,2)$-圈覆盖猜想的一个新重构,其断言任意无爪无桥三次图的边集可被四个完美匹配覆盖。