关于超树的友好标号

设 $f:V\rightarrow\mathbb{Z}_k$ 为超图 $H=(V,E)$ 的一个顶点标号。该标号诱导出 $H$ 的一个边标号，定义为 $f(e)=\sum_{v\in e}f(v)$，其中求和取模 $k$。若对所有 $a, b \in \mathbb{Z}_k$，标号为 $a$ 的顶点数与标号为 $b$ 的顶点数之差至多为 $1$，且对边标号也成立类似条件，则称 $f$ 为 $k$-友好的。若 $H$ 容许一个 $k$-友好标号，则称 $H$ 为 $k$-友好的。几十年来，图的 $k$-友好标号的存在性已被广泛研究。Hovey（1991）猜想每棵树 $T$ 对每个 $k\ge 2$ 都是 $k$-友好的。Cichacz、Görlich 和 Tuza（2013）首次研究了超树的类似问题，即无圈的连通超图。他们工作的主要结果是每个 $k$-一致超树对每个 $k\ge 2$ 都是 $k$-友好的，且每个具有奇数个顶点 $n$ 或奇数条边 $m$ 的超树是 $2$-友好的。此外，他们猜想事实上所有超树都是 $2$-友好的。在本文中，我们证实了 Cichacz 等人的猜想，并进一步证明了对 $k\in\{2,3\}$ 每个超树都是 $k$-友好的。