图的 $E_A$-亲切标号及其对树 $A$-反魔幻标号的意义

若 $A$ 是一个有限阿贝尔群，则图 $G$ 的边上的标号 $f \colon E (G) \rightarrow A$ 会在 $G$ 上诱导出一个顶点标号；顶点 $u$ 接收标号 $\sum_{v\in N(u)}f (v)$，其中 $N(u)$ 是顶点 $u$ 的开邻域。如果存在一个边标号使得 (1) 边标号类的大小至多相差 1 且 (2) 诱导的顶点标号类的大小至多相差 1，则称图 $G$ 是 E_A\)-亲切的。这样的标号被称为 E_A\)-亲切标号。在文献中，迄今为止仅研究了循环群中的 E_A\)-亲切标号。Kaplan、Lev 和 Roditty 研究了相应的问题。即，他们引入了 A^*$-反魔幻标号作为反魔幻标号 \cite{ref_KapLevRod} 的推广。简而言之，对于阶为$|A|$的树，$A^*$-反魔幻标号是一种禁止在边上使用标号$0$的$E_A\)-亲切标号。在本文中，我们给出了对于任意循环群 $A$，路图是 E_A\)-亲切的充分必要条件。我们还证明了 \cite{ref_KapLevRod} 中提出的关于树的 A^*$-反魔幻标号的猜想不成立。