$Z_2\times Z_2$-协调无环超图

Hovey引入了$A$-协调标号作为协调与和谐标号的一般化\cite{Hovey}。若$A$为阿贝尔群，则对某图$G$的顶点标号$f \colon V (G) \rightarrow A$诱导出$G$上的边标号，边$uv$获得标号$f (u) + f (v)$。图$G$是$A$-协调的，若存在顶点标号使得(1)顶点标号类的大小相差至多一，且(2)诱导边标号类的大小相差至多一。图的$A$-协调标号问题可自然推广至超图。已有结果表明，并非每个$2$-一致超树（即树）都容许$Z_2\times Z_2$-协调标号\cite{Pechnik}。若我们考虑更大$p$下的$p$-一致超树，情况则发生改变。我们证明，对任意$p>2$，$p$-一致超树是$Z_2\times Z_2$-协调的，且所有边大小至少为3的路径超图亦是如此。该性质在最大度数为1的超图类中并非普遍成立，对此我们给出了充要条件。